Conceitos Iniciais de Polinômios – Matemática Enem

Estudaremos a seguir sobre os polinômios, assunto de matemática para o Enem. Os polinômios são expressões algébricas formadas por monômios (que veremos na sequência) e operadores matemáticos. Vamos abordar a classificação dos polinômios, assim como determinar o seu grau e também os tipos de polinômio.

Monômio

Como mencionamos acima, um polinômio é composto por um conjunto de monômios. Por sua vez, um monômio é definido como sendo o produto único entre um coeficiente qualquer e a parte lateral. Veja abaixo alguns exemplos de monômios:

10x²
6
xy

Nos exemplos acima, os coeficientes são os valores numéricos, enquanto a parte literal é formada pelas variáveis que serão determinadas.

Binômio

Na sequência, vem o binômio. Um binômio é definido como sendo um polinômio formado por dois monômios, como nos exemplos abaixo:

10x² – 2x
y⁵ – 4
x + y

Trinômio

O trinômio é um polinômio formado por três diferentes monômios, veja nos exemplos:

x⁵ – 2x⁴ – 1
y³ + 6y² – y
x + y + z

Polinômio

Por fim, um polinômio é definido como uma expressão que envolve quatro ou mais monômios. Veja a seguir alguns exemplos de polinômios:

x⁷ – 5x⁴ + 125x² + 9

x³y + y²x + xy – 2

z⁸ – z⁶ + z⁴ – z² + 1

Determinando o Grau de Um Polinômio

Conhecida a classificação dos polinômios, podemos agora determinar o grau de um polinômio. Começaremos pelo caso mais simples, com polinômios de uma única variável. Para este tipo de polinômio, o seu grau é determinado pelo maior expoente dos monômios, ou seja, o maior número ao qual a parte literal está elevada. Para o polinômio x⁷ – 5x⁴ + 125x² + 9 o grau é 7, uma vez que é o maior expoente das variáveis. O polinômio 10x² é de segundo grau, já que a variável a ser determinada está elevada ao número 2.

Podemos ainda determinar o grau de um polinômio com mais de uma variável. Para isso, é necessário realizar a soma dos expoentes de cada monômio, sendo o grau do polinômio representado pela maior soma de expoentes. Veja no exemplo a seguir:

x³y + y²x + xy – 2

x³y → 3 + 1 = Grau 4

y²x → 2 + 1 = Grau 3

xy → 1 + 1 = Grau 2

2 → Grau 2

Deste modo, concluímos que este polinômio é do quarto grau, que é o maior valor da soma dos expoentes do monômio para este polinômio.

Definindo Tipos de Polinômios

Podemos ainda definir os tipos de polinômio, que são os completos e os incompletos. Veremos a seguir cada um deles. Os polinômios completos são aqueles em que a ordem dos expoentes é decrescente, ou seja, do maior para o menor, e que não faltem expoentes ao longo da sequência. Assim, um polinômio completo deve decrescer do maior expoente, de um em um, até atingir o grau 0, que será o termo independente. Veja a seguir um exemplo:

x⁴ – 3x³ – 4x² + x – 9

Podemos representar o mesmo polinômio da seguinte forma:

x⁴ – 3x³ – 4x² + x¹ – 9x⁰

Percebemos então que se trata de um polinômio completo, uma vez que segue todos os requisitos informados anteriormente. A maior parte dos polinômios são incompletos, pois normalmente faltam elementos ao longo de sua cadeia, impedindo de se tornarem completos. Veja o polinômio a seguir:

x⁴ – 3x³ – 4x² + x

Este é um polinômio incompleto, pois embora decresça linearmente até o último termo, não possui o termo de grau 0 (termo independente), então não pode ser um polinômio completo!

Estudamos então alguns dos conceitos iniciais sobre os polinômios. Na sequência vamos abordar operações com polinômios, assim como outros assuntos importantes relacionados a este tema. Aguarde!