Confira Uma Questão Sobe Criptografia do Enem

Os vestibulandos que se preparam para o Enem sabem que a banca examinadora procura ao máximo contextualizar questões para que o aluno veja a aplicação do conhecimento teórico no mundo real. Não poderia ser diferente no caderno de Matemática e suas Tecnologias, no qual é recorrente o uso de figuras de situações do cotidiano para problematizar a aplicação dos conhecimentos matemáticos adquiridos durante o Ensino Médio.

Na questão que trazemos neste artigo isso fica bem evidenciado: a partir do contexto da Segunda Guerra Mundial e da necessidade de decodificar os códigos do inimigo (como abordado nesse artigo sobre o filme “O Jogo da Imitação”), o INEP foi capaz de abordar aspectos de criptografia através de conhecimentos simples de matemática. Apesar de a questão não deixar isto claro, é interessante o leitor notar que a criptografia não está necessariamente atrelada à computação, sendo uma ciência que é empregada há milênios para proteger mensagens e garantir a sobrevivência de obras e documentos. Caso você queira saber mais sobre a relação entre criptografia e a matemática, recomendamos o artigo Criptografia e Números Primos: um namoro que deu certo.

Vamos para a questão?

Enem 2014 – Questão 150 – Caderno Amarelo

Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x. 5^y.7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

a) x.y.z
b) (x + 1).(y + 1)
c) x.y.z – 1
d) (x + 1).(y + 1).z
e) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

 

RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS

Alternativa E

Para esta questão, iremos precisar do conceito de um importante teorema da Matemática relativo aos números primos, chamado Teorema Fundamental da Aritmética: “todo número inteiro positivo pode ser decomposto de maneira única, a menos da ordem, como um produto de número primos”.

De modo geral podemos decompor de maneira única um número N, em fatores primos, da seguinte forma:

Observe que os expoentes podem assumir o valor zero, o que significa que caso algum número primo não apareça na decomposição, seu expoente será 0. Portanto, o resultado da potência será 1, o que não irá interferir na decomposição, afinal todo número real elevado a 0 é igual a 1.

Agora vamos ao problema da questão que nos traz o seguinte número N decomposto:

N = 2^x. 5^y.7^z

O fato de N ser múltiplo de 10, significa que na fatoração de N irá aparecer pelo menos um fator 2 e pelo menos um fator 5, ou seja, tanto o expoente x como o expoente y são diferentes de 0. Do mesmo modo que o fato de N não ser múltiplo de 7 significa que na fatoração de N não haverá nenhum fator 7, ou seja, o expoente z será igual a 0. Entretanto, tais conclusões não serão relevantes para chegarmos à resposta e escrevemos apenas a título de aprofundamento, pois faz parte do enunciado.

Para obtermos o número de divisores de um número N a partir de sua decomposição em fatores primos, devemos obter todas as combinações possíveis para seus expoentes incluindo o zero. Assim, em nosso caso, as possibilidades para o expoente do fator 2 são iguais a x mais o zero, isto é, x + 1. De modo análogo, as possibilidades para os expoentes y e z, respectivamente são y + 1 e z + 1.

Para finalizar, devemos, utilizando o princípio multiplicativo, efetuar o produto de todas as possibilidades dos expoentes x, y e z para obtermos todos os divisores do número N. Entretanto, o enunciado nos impõe uma restrição, os divisores de N diferentes de N. Assim, do produto obtido, devemos retirar uma possibilidade que é o próprio número e portanto a expressão será:

(x+1).(y+1).(z+1)-1

Comentário: a questão é totalmente conceitual, baseada em conteúdos bem simples, como a decomposição em fatores primos e divisores de um número a partir de sua decomposição. Contudo, a união deles tornou a resolução da questão um pouco mais complexa, ainda mais por estar na forma literal, o que exige um domínio maior desses conteúdos. Para visualizarmos melhor, vejamos um exemplo numérico. Vamos supor que o número N seja 200, cuja decomposição é N = 2.2.2.5.5 ⇒ N = 2³. 5².7⁰. Note que o fato do expoente do 7 ser 0 nada interfere na decomposição.

O número de possibilidades para os divisores de N, incluindo ele próprio, serão:

(3+1).(2+1).(0+1) = 4.3.1 = 12

Se fizermos todas as combinações teremos:

Chamamos de divisor próprio de um número N todo número que o divide, mas que é diferente dele, que é exatamente o que a questão pede. Neste nosso exemplo, o número de divisores próprios de 200 é 11.

Conteúdos envolvidos: decomposição, divisor próprio de um número natural e análise combinatória (princípio multiplicativo).

Esta questão do Enem foi resolvida em detalhes por Luis Gustavo H. M. Grimm e Ana Luísa S. Tagliolatto, ambos graduados em Matemática pela UNICAMP e professores das redes municipal e particular de ensino. Quer ver outras questões resolvidas? Clique aqui!