Estudando a Progressão Geométrica (PG) no Enem 2020

Em nossa última postagem de matemática estudamos sobre a progressão aritmética – PA (relembre esta postagem clicando aqui!) Em nossa postagem de hoje vamos sobre outro tipo de progressão, que é a progressão geométrica (PG). Iremos mostrar os principais conceitos sobre este assunto, assim como realizar uma comparação entre as duas progressões.

Da mesma forma que fizemos com a postagem anterior, vamos começar entendo o que é uma progressão geométrica. Uma PG pode ser definida como uma sequência numérica (a1, a2, …, aN) que segue a seguinte regra: a divisão entre qualquer elemento da sequência pelo seu respectivo elemento anterior resultará no mesmo valor. Este valor é definido como razão (q) da PG. Lembre-se de que para a PA a razão é obtida através de uma subtração, enquanto a razão de uma PG é realizada através de uma divisão.

Considere o conjunto de números a seguir: (3, 6, 12, 24, 48, …). Podemos dizer que o conjunto se trata de uma progressão geométrica, uma vez que a divisão entre seus termos assumirá o mesmo valor. Além disso, podemos calcular esta razão, que é igual a 2!

A razão da PG será importante pois a utilizaremos para realizar a classificação da progressão. Para isso, podemos realizá-la de 5 maneiras diferentes:

  • PG crescente: a progressão será dita crescente quando apresentar razão maior que 1, com todos os termos positivos.
  • PG decrescente: já uma PG decrescente se dará de duas maneiras distintas. A primeira maneira é com a razão q positiva, e todos os termos da sequência negativos. A segunda maneira é para situações onde 0<q<1.
  • PG singular: em uma progressão geométrica regular, a razão será igual a 0.
  • PG constante: em uma progressão geométrica constante, todos os termos serão iguais. Desta forma, a razão desta PG será igual a 1.
  • PG oscilante: uma PG oscilante apresentará razão menor que 0. Desta maneira, os termos desta progressão terão sinais alternados (mas a razão continuará a mesma!)

Termo geral da PG

Assim como aconteceu para a progressão aritmética, podemos utilizar a razão e o primeiro termo da PG para definir o seu termo geral. Para isso, devemos utilizar a seguinte equação:

Onde an será o valor do n-ésimo termo da progressão, a1 é o primeiro termo da sequência, q é a razão da PG e n é a posição do termo na sequência.

Soma dos termos da PG

A principal diferença entre as duas progressões se dá na soma de seus termos. Isso porque a soma dos termos de uma PA é realizada de uma única forma, enquanto os termos da PG possuem três classificações de soma.

A primeira soma de uma PG será para uma progressão com número finito de elementos e uma razão igual a 1. Neste caso, a soma é dada por:

O segundo caso será para uma PG também finita, porém com razão diferente de 1. A soma dos termos será dada pela equação:

O terceiro caso será para uma PG infinita, onde desconheceremos o valor de n. Assim, a equação para a soma dos termos desta PG será:

Produto dos termos da PG

Para uma progressão finita, podemos ainda calcular o valor do produto dos seus termos. Este produto será dado pela equação:

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