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Lei dos senos e dos cossenos no Enem

Em nossa postagem de hoje vamos estudar um conteúdo muito importante para a trigonometria, que são a lei dos senos e a lei dos cossenos. Para isso, vamos apresentar as duas leis, quando utilizá-las e também uma questão do Enem ilustrando como este conteúdo é abordado nas provas de matemática deste exame.

Lei dos senos

Para apresentar a lei dos senos, vamos precisar de um triângulo qualquer, que esteja inscrito em uma circunferência de raio R, como mostrado na figura abaixo:

Fonte: https://querobolsa.com.br/enem/matematica/lei-dos-senos

A lei dos senos é interessante uma vez que, além de envolver os lados do triângulo e os seus respectivos senos, também envolve o raio da circunferência circunscrita a esse triângulo. Esta lei é dada pela seguinte relação:

Os exercícios que envolvem a utilização da lei dos senos normalmente são compostos por um triângulo onde são informadas as medidas de seus ângulos e de apenas um dos lados. Desta maneira, ao utilizar a lei dos senos pode-se determinar a medida dos demais lados ou ainda determinar o valor da circunferência na qual o triângulo está inscrito.

Lei dos cossenos

Já para a lei dos cossenos, não teremos uma circunferência envolvida. Considere então apenas o triângulo ilustrado abaixo:

Fonte: https://sabermatematica.com.br/lei-dos-cossenos.html

A lei dos cossenos irá resultar em três diferentes equações, envolvendo os lados do triângulo e apenas um ângulo por vez.

A lei dos cossenos é conveniente de ser utilizada em situações em que são conhecidos mais lados do que ângulos (note que é a situação inversa à lei dos senos). Além disso, a lei dos cossenos é utilizada para qualquer tipo de triângulo. Ao aplicar esta lei para um triângulo retângulo, você irá obter o Teorema de Pitágoras, aplicando a lei para o ângulo de 90 graus.

De uma maneira geral, podemos resumir a utilização das duas leis da seguinte maneira: quando possuir mais ângulos do que lados utilize a lei dos senos. Para as situações onde são conhecidos mais lados do que ângulos aplique a lei dos cossenos!

Questão do Enem sobre o assunto

Para exemplificar como este conteúdo é cobrado nas provas do Enem, vamos apresentar uma questão da prova de 2017, que utiliza a lei dos cossenos em sua resolução:

Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de 10cm, um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de 120°. A ponta seca está representada pelo ponto C, a ponta do grafite está representada pelo ponto B e a cabeça do compasso está representada pelo ponto A conforme a figura.

Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.

O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será”

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

Alternativa correta: d.

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